Considerações Gerais Sobre a ANOVA

Assim como nos testes t, a ANOVA analisa as diferenças entre as médias dos grupos, determinando a média geral e verificando a sua diferença de cada média individual (DANCEY; REIDY; ROWE, 2017). Por esse motivo, a ANOVA é considerada uma extensão do teste t e apresentaria resultados semelhantes ao do teste t em uma comparação com duas condições (grupos ou momentos). A principal diferença da ANOVA para os testes t é que ela verifica as diferenças entre três ou mais grupos (amostras independentes) e entre três ou mais momentos (amostra dependente). Ao comparar três ou mais grupos ou momentos de uma só vez, ANOVA é mais robusta que o teste t e reduz as chances de erro tipo.

Existem dois tipos básicos de ANOVA: a ANOVA independente, conhecida como Anova 1 fator, e a ANOVA relacionada, chamada de Anova de Medidas Repetidas. O teste não paramétrico para a ANOVA 1 fator é o teste de Kruskal-Wallis, enquanto o teste não paramétrico para a Anova de Medidas Repetidas é o Teste de Friedman, os quais serão vistos juntamente com os demais testes não paramétricos.

Na ANOVA 1 fator, os participantes são avaliados somente em uma condição, ou seja, entre participantes ou entre um delineamento independente. Essa condição é representada por um delineamento de um fator com pelo menos três níveis (DANCEY; REIDY; ROWE, 2017). É um delineamento de um fator, pois apenas uma variável entra na análise e tem três níveis porque cada participante aparece somente em um nível. A Tabela 1 ilustra um delineamento de um fator, que é a nota da prova, com três níveis, que são os grupos (solteiros, casados e divorciados).

Na ANOVA de medidas repetidas, os participantes são avaliados em todas as condições em um delineamento intraparticipantes. Essa condição é representada por um delineamento de um fator com pelo menos três níveis ou condições de medidas repetidas (DANCEY; REIDY; ROWE, 2017). É um delineamento de um fator, pois apenas uma variável entra na análise e tem três níveis (momentos) porque cada participante apresenta um valor em um nível. A Tabela 2 ilustra um delineamento de um fator, que é a nota da prova de um grupo de alunos, com três níveis, que são os momentos (1º bimestre, 2º bimestre e 3º bimestre).

Os delineamentos da ANOVA independente e relacionada estão ilustrados na Figura 1, na qual primeiramente se pretende comparar a nota da prova entre três grupos independentes e depois se pretende comparar a nota da prova de uma amostra em três momentos distintos.

Nesses casos, as hipóteses da pesquisa tanto na ANOVA independente quanto na ANOVA relacionada ficariam da seguinte forma:

• H\(_0\): a média da nota da prova é estatisticamente igual entre três grupos ou momentos
• H\(_1\): a média da nota da prova não é estatisticamente igual entre três grupos ou momentos.

Por ser um teste de hipótese mais complexo e robusto do que os testes t, a ANOVA (independente e relacionada) requer uma lógica mais complexa para o cálculo da diferença entre os grupos ou momentos. A ANOVA analisa a igualdade das variâncias dos dados comparando dois componentes, a variância intergrupos e intragrupos, verificando se a variância entre os grupos é semelhante à variância dentro dos grupos (BARROS et al., 2012).

Variância Entre os Grupos (intergrupos)

A variância entre os grupos se refere à diferença entre cada indivíduo em comparação à média de todas as observações (grupos). Assim, quando as médias dos grupos são diferentes, pode-se dizer que a variação entre os grupos é alta, enquanto que, se não existir diferença entre as médias dos grupos, não existe variação. Esta variação pode ser ilustrada a partir do exemplo da média da nota da prova dos solteiros, casados e divorciados na Tabela 3, que variaram entre 5,3 e 8,3. Pode-se dizer que a variação entre os grupos é uma variação entre as colunas da Tabela 3.

Variância Intragrupos (Dentro dos Grupos)

A variância intragrupos se refere às diferenças e variações dentro dos grupos, ou seja, às diferenças entre cada participante em comparação à média do grupo que faz parte. Essa variação pode ser considerada como a variação dentro de cada coluna da tabela. Ao analisar os dados da Tabela 3, perceba que as notas do grupo 2 (casados) têm pequena variação interna, já que todos os indivíduos tiveram nota entre 8,0 e 8,5. Em contrapartida, o grupo 3 (divorciados) apresenta uma variação maior, entre 3,5 e 6,5.

Calculando as Variâncias e o Teste F

Para descobrir se existe diferença entre as médias de dois ou mais grupos ou momentos, a ANOVA executa os seguintes cálculos:

• Média de cada um dos três ou mais grupos ou momentos.
• Média geral da amostra (soma das médias de cada grupo ou momento e divisão pela quantidade de grupos ou momentos).
• Em cada grupo é calculada a variação total de cada indivíduo em comparação à média do grupo (variação intragrupos).
• A variação da média de cada grupo em relação à média geral (variação entre os grupos).

Percebe-se que todos os cálculos na ANOVA envolvem a média das observações. Assim, a variância total de um grupo revela a distância entre a média geral e o valor mais distante, conforme ilustra a Figura 2. A variância total é particionada devido à diferença entre a variância entre os grupos e a variância intragrupos (DANCEY; REIDY, 2019).

Para verificar as diferenças entre as variâncias intergrupos e intragrupos, utiliza-se o teste \(F\). O valor obtido no teste \(F\) é comparado com os valores críticos da distribuição de \(F\) (BARROS et al., 2012). Assim, o resultado da ANOVA pode ser representado pela razão entre a variância intergrupos e a variância intragrupos, conforme a equação abaixo:

\[F~=~Vari\hat{a}ncia~intergrupos~/~Vari\hat{a}ncia~intragrupos\]

Se o valor de F calculado for maior do que o F tabelado, deve-se rejeitar a H\(_0\), ao passo que se o valor de F calculado for menor do que o F tabelado, deve-se aceitar a H\(_0\).

O ideal em um estudo que se pretende comparar três ou mais grupos ou momentos é que a variância dentro dos grupos seja mínima para que o valor do teste F seja alto. Ainda, quando a variância entre os grupos é maior do que a variância dentro dos grupos, o valor do teste F será alto e a probabilidade de rejeitar a hipótese nula também é maior (DANCEY; REIDY, 2019).

A Figura 2 demonstra que existe uma sobreposição entre os grupos 2 e 3, indicando que eles não apresentam valores muito diferentes, enquanto que o grupo 1 não apresenta nenhuma sobreposição com os grupos 2 e 3. Além disso, a distância das médias dos grupos 2 e 3 é pequena quando comparada à distância entre a média do grupo 1 e a média geral.

Dessa forma, quanto maior for a variância entre os grupos em relação à variância média intragrupos, maior será o valor de F e a diferença entre os grupos. A Figura 3 ilustra situações de grande sobreposição (pequena diferença) e pequena sobreposição (grande diferença) entre os grupos.

Embora a ANOVA e o cálculo do teste F sejam possíveis de serem realizados manualmente, os softwares estatísticos efetuam a ANOVA independente (1 Fator) e a ANOVA dependente (Medidas repetidas) rapidamente e sem a necessidade de cálculos manuais.

Comparações Múltiplas

A ANOVA indica se existe alguma diferença entre as médias dos três grupos ou momentos, entretanto, não indica entre quais grupos foi encontrada a diferença significativa. Para isso, é necessário escolher um dos procedimentos de comparações múltiplas, chamados de Post-Hoc.

A escolha destes testes de comparações múltiplas deve levar em consideração o tamanho da amostra, número de grupo ou momentos, e o balanceamento entre a ocorrência do erro tipo I e tipo II. Os testes de Post-Hoc são similares ao teste t, mas são mais robustos por reduzirem a ocorrência do erro tipo I. Os principais Post-Hoc são o teste de Scheffé, o teste de Tukey e o teste de Bonferroni, os quais devem ser devem ser utilizados em algumas situações particulares (BARROS et al., 2012), como:

• Teste de Tukey: amostras com mesmo tamanho e variâncias semelhantes.
• Teste de Scheffé: é mais conservador e é indicado quando se tem muitos grupos.
• Teste de Bonferroni: mais indicado quando se tem menor quantidade de grupos.